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PAU Madrid 2024-25 · Distancia entre rectas paralelas

PAU Madrid 2024-25 · Distancia entre rectas paralelas (enunciado original)

Enunciado. Las rectas r y s son paralelas: r pasa por A(0, 0, 6) y s por B(0, 5, 2), y las dos tienen la dirección (3, 4, 0). Determina la verdadera magnitud de la distancia entre r y s. (Adaptación del enunciado original: el examen da la figura; aquí se fijan las coordenadas para poder construirlo en el editor.)

Resolución paso a paso

  1. Dibuja las dos rectas con sus dos proyecciones: r′ y r″ (por A′ y A″) y s′ y s″ (por B′ y B″).
  2. Como son paralelas, su distancia es la longitud de la perpendicular común. Un plano perpendicular a su dirección las corta en dos puntos, y el segmento que los une es esa perpendicular.
  3. Traza el plano π perpendicular a la dirección (3, 4, 0) por un punto de r. En la planta su traza horizontal sale perpendicular a r′ y a s′.
  4. Halla I = r ∩ π y J = s ∩ π.
  5. El segmento IJ es la perpendicular común a las dos rectas: su longitud es la distancia. Como está contenido en un plano perpendicular a ellas, se mide en verdadera magnitud.

Resultado

La distancia entre r y s es 5 u (I(3, 4, 6) y J(0,6; 5,8; 2)).

Consejo

Con rectas horizontales, la distancia NO es la que se ve en la planta: hay que componer la separación en planta con la diferencia de cotas. Aquí: 3 u en planta y 4 u de cota → √(3² + 4²) = 5.

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